JEE Mathematics Lecture Plan
Lecture 07: Function & its Domain & Range
Theory – 1: Definition & Identification of a Function
A relation from set A to set B is called a function if every element of set A has exactly one unique image in set B. It means no input from the domain can have multiple outputs, and all inputs in the domain must be mapped.
ગણ A થી ગણ B પરનો સંબંધ એ વિધેય છે જો ગણ A ના પ્રત્યેક ઘટકનું ગણ B માં એક અને માત્ર એક જ પ્રતિબિંબ હોય. આનો અર્થ એ છે કે પ્રદેશના કોઈપણ ઇનપુટમાં બહુવિધ આઉટપુટ હોઈ શકતા નથી, અને પ્રદેશના તમામ ઇનપુટ્સ મેપ કરેલા હોવા જોઈએ.
Let $A = \{1, 2, 3, 4\}$ and $B = \{a, b, c\}$. Which of the following is a function from A to B?
ધારો કે $A = \{1, 2, 3, 4\}$ અને $B = \{a, b, c\}$. નીચેનામાંથી કયું એ A થી B પર વ્યાખ્યાયિત વિધેય છે?
- (A) $\{(1, a), (2, b), (3, c), (4, a)\}$
- (B) $\{(1, a), (1, b), (1, c), (1, a)\}$
- (C) $\{(1, a), (2, b), (2, c), (4, a)\}$
- (D) $\{(1, a), (2, b), (3, c)\}$
Solution:
For a relation to be a function, every element of set A must appear exactly once as the first component of the ordered pair.
- (A) Valid. All elements {1, 2, 3, 4} are mapped exactly once.
- (B) Invalid. Element 1 has multiple images.
- (C) Invalid. Element 2 has multiple images (b and c).
- (D) Invalid. Element 4 is not mapped.
Answer: (A)
Theory – 2: Rules for Finding Domain
The domain is the set of all valid $x$-values for which the function $f(x)$ yields a real output.
Rule 1: Denominator $\neq 0$.
Rule 2: Expression under an even root $\ge 0$. (e.g., inside $\sqrt{}$ must be $\ge 0$).
Rule 3: If $f(x) = h(x) \pm g(x)$, Domain = $D(h) \cap D(g)$.
પ્રદેશ એ એવા તમામ વાસ્તવિક $x$-મૂલ્યોનો ગણ છે જેના માટે વિધેય $f(x)$ વાસ્તવિક આઉટપુટ આપે છે.
નિયમ ૧: છેદ શૂન્ય ન હોઈ શકે.
નિયમ ૨: વર્ગમૂળ (અથવા બેકી ઘાતમૂળ) હેઠળનું પદ અનૃણ ($\ge 0$) હોવું જોઈએ.
નિયમ ૩: જો વિધેય બે પદોના સરવાળા/બાદબાકીમાં હોય, તો પ્રદેશ બંનેના પ્રદેશનો છેદગણ ($\cap$) થાય.
Domain of the function $f(x) = \frac{1}{\sqrt{25 – x^2}}$ is:
વિધેય $f(x) = \frac{1}{\sqrt{25 – x^2}}$ નો પ્રદેશ:
- (A) $[-5, 5]$
- (B) $[-5, 5)$
- (C) $(-5, 5)$
- (D) $R – (-5, 5)$
Solution:
Applying Rule 1 and Rule 2 together: The expression inside the square root is in the denominator, so it must be strictly greater than zero.
$$25 – x^2 > 0 \implies x^2 < 25 \implies -5 < x < 5$$
Therefore, Domain $= (-5, 5)$.
Answer: (C)
Domain of the function $f(x) = \frac{\sqrt{1+x} – \sqrt{1-x}}{x}$ is:
વિધેય $f(x) = \frac{\sqrt{1+x} – \sqrt{1-x}}{x}$ નો પ્રદેશ કયો?
- (A) $(-1, 1)$
- (B) $(-1, 1) – \{0\}$
- (C) $[-1, 1]$
- (D) $[-1, 1] – \{0\}$
Solution:
Find conditions for each part of the expression:
- Condition 1 (Numerator Root 1): $1 + x \ge 0 \implies x \ge -1$
- Condition 2 (Numerator Root 2): $1 – x \ge 0 \implies x \le 1$
- Condition 3 (Denominator): $x \neq 0$
Taking the intersection of all conditions: $x \in [-1, 1]$ and $x \neq 0$. Therefore, Domain $= [-1, 1] – \{0\}$.
Answer: (D)
Domain of the function $f(x) = \frac{x^2 – 3x + 2}{x^2 + x – 6}$ is:
વિધેય $f(x) = \frac{x^2 – 3x + 2}{x^2 + x – 6}$ નો પ્રદેશ કયો?
- (A) $\{x : x \in R, x \neq 3\}$
- (B) $\{x : x \in R, x \neq 2\}$
- (C) $\{x : x \in R\}$
- (D) $\{x : x \in R, x \neq 2, x \neq -3\}$
Solution:
Denominator cannot be zero. Factorize the quadratic equation:
$$x^2 + x – 6 \neq 0 \implies (x + 3)(x – 2) \neq 0 \implies x \neq -3, \text{ and } x \neq 2$$
So, the function is defined for all real numbers except $-3$ and $2$.
Answer: (D)
Theory – 3: Range of a Function
The range is the set of all possible $y$-values (outputs) a function can produce. To find the range, first determine the domain, and then find the minimum and maximum possible values of the expression.
વિસ્તાર એ વિધેય દ્વારા મળતા તમામ સંભવિત $y$-મૂલ્યો (આઉટપુટ) નો ગણ છે. વિસ્તાર શોધવા માટે, પહેલા પ્રદેશ નક્કી કરો, અને પછી પદ લઈ શકે તેવા ન્યૂનતમ અને મહત્તમ શક્ય મૂલ્યોનું વિશ્લેષણ કરો.
Find the range of the function $f(x) = 10 – x^2$ for $x \in R$.
$x \in R$ માટે વિધેય $f(x) = 10 – x^2$ નો વિસ્તાર શોધો.
Solution:
We know that for any real number $x$, the square is always non-negative: $x^2 \ge 0$.
Multiply by -1 (inequality sign flips): $-x^2 \le 0$
Add 10 to both sides: $10 – x^2 \le 10 \implies f(x) \le 10$
Therefore, the output can be any value up to 10. Range = $(-\infty, 10]$.
Theory – 4: Number of Functions
If set $A$ has $m$ elements and set $B$ has $n$ elements, the total number of distinct functions defined from $A$ to $B$ is given by $n^m$. This is because each of the $m$ elements in the domain has $n$ choices in the codomain.
જો ગણ $A$ માં $m$ ઘટકો અને ગણ $B$ માં $n$ ઘટકો હોય, તો $A$ થી $B$ પર વ્યાખ્યાયિત કુલ વિધેયોની સંખ્યા $n^m$ થાય છે. કારણ કે પ્રદેશના પ્રત્યેક $m$ ઘટકો માટે સહ-પ્રદેશમાં પસંદગીના $n$ વિકલ્પો હોય છે.
Let $A = \{1, 2, 3\}$ and $B = \{a, b\}$. How many total functions can be defined from A to B?
ધારો કે $A = \{1, 2, 3\}$ અને $B = \{a, b\}$. A થી B પર કુલ કેટલા વિધેયો વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય?
Solution:
Number of elements in $A$, $m = 3$. Number of elements in $B$, $n = 2$.
Total functions $= n^m = 2^3 = 8$.