In an examination of a certain class, at least 70% of the students failed in Physics, at least 72% failed in Chemistry, at least 80% failed in Mathematics and at least 85% failed in English. How many at least must have failed in all the four subjects?

પરીક્ષામાં ઓછામાં ઓછા 70% વિદ્યાર્થી ભૌતિક વિજ્ઞાનમાં, ઓછા માં ઓછી 72% વિદ્યાર્થીઓ રાસાયણિક વિજ્ઞાનમાં, 80% વિદ્યાર્થી ગણિતમાં અને ઓછા માં ઓછા 85% અંગ્રેજીમાં નાપાસ થયા છે, તો ઓછામાં ઓછા કેટલા વિદ્યાર્થી ચારેય વિષયમાં નાપાસ થયા છે?

• (A) 5%
• (B) 7%
• (C) 15%
• (D) Cannot be determined due to insufficient data / અપૂરતી માહિતી હોવાથી કઈ કહી શકાય નહિ

Solution:

મહત્તમ પાસ થનાર ટકાવારી શોધીએ (પૂરક ગણનો ઉપયોગ):

• ભૌતિક વિજ્ઞાનમાં પાસ $= 100 – 70 = 30\%$
• રસાયણ વિજ્ઞાનમાં પાસ $= 100 – 72 = 28\%$
• ગણિતમાં પાસ $= 100 – 80 = 20\%$
• અંગ્રેજીમાં પાસ $= 100 – 85 = 15\%$

કોઈ પણ એકમાં પાસ થનાર મહત્તમ વિદ્યાર્થીઓ $= 30 + 28 + 20 + 15 = 93\%$

તેથી ઓછામાં ઓછા ચારેય વિષયમાં નાપાસ $= 100 – 93 = 7\%$.

જવાબ: (B) 7%

If $aN=\{ax:x\in N\}$ and $bN \cap cN=dN$, where $b, c \in N$, $b\ge 2$, $c\ge 2$ are relatively prime, then which one of the following is correct?

જો $aN=\{ax:x\in N\}$ અને $bN \cap cN=dN$, જ્યાં $b, c \in N$, $b\ge 2$, $c\ge 2$ પરસ્પર અવિભાજ્ય હોય તો નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?

• (A) $b=cd$
• (B) $c=bd$
• (C) $d=bc$
• (D) $d^2=bc$

Solution:

$bN$ એટલે $b$ ના ગુણિતો અને $cN$ એટલે $c$ ના ગુણિતો.

તેમનો છેદગણ $bN \cap cN$ એ $b$ અને $c$ બંનેના સામાન્ય ગુણિતો દર્શાવે, જે $\text{LCM}(b,c)$ ના ગુણિતો હોય.

આપણને આપેલું છે કે $b$ અને $c$ પરસ્પર અવિભાજ્ય છે, તેથી તેમનો $\text{LCM} = b \times c$ થાય.

માટે, $dN=(bc)N \Rightarrow d=bc$.

જવાબ: (C) $d=bc$

Let X and Y be two sets.
Statement-1: $X \cap (Y \cup X)’ = \phi$.
Statement-2: If $X \cup Y$ has $m$ elements and $X \cap Y$ has $n$ elements then symmetric difference $X \Delta Y$ has $m – n$ elements.

X અને Y બે ગણ છે.
વિધાન-1 : $X \cap (Y \cup X)’ = \phi$.
વિધાન-2 : જો $X \cup Y$ માં $m$ ઘટકો અને $X \cap Y$ માં $n$ ઘટકો હોય તો $X \Delta Y$ માં $m – n$ ઘટક હોય.

• (A) Both the statements are true. / બંને વિધાન સાચા છે.
• (B) Statement-I is true, but Statement-II is false. / વિધાન 1 સાચું, વિધાન 2 ખોટું છે.
• (C) Statement-I is false, but Statement-II is true. / વિધાન 1 ખોટું, વિધાન 2 સાચું છે.
• (D) Both the statements are false. / બંને વિધાન ખોટાં છે.

Solution:

વિધાન-1: ડી-મોર્ગનના નિયમ મુજબ, $(Y \cup X)’ = Y’ \cap X’$.
તેથી, $X \cap (Y’ \cap X’) = (X \cap X’) \cap Y’ = \phi \cap Y’ = \phi$. (વિધાન સાચું છે).

વિધાન-2: આપણે જાણીએ છીએ કે $X \Delta Y = (X \cup Y) – (X \cap Y)$.
તેથી તેના ઘટકોની સંખ્યા $n(X \Delta Y) = n(X \cup Y) – n(X \cap Y) = m – n$ થાય. (વિધાન સાચું છે).

જવાબ: (A) બંને વિધાન સાચા છે.

Let the sets $A=\{2,4,6,8……\}$ and $B=\{3,6,9,12…..\}$ such that $n(A)=200$ and $n(B)=250$. If $n(A \cup B)=k$, then $\frac{k}{100}$ is equal to

ગણ $A=\{2,4,6,8,……….\}$ અને $B=\{3,6,9,12,…….\}$ તથા $n(A)=200$ અને $n(B) = 250$. જો $n (A \cup B) = k$ તો $\frac{k}{100} =$ ________

• (A) $3.84$
• (B) $4.50$
• (C) $384$
• (D) આપેલ પૈકી એક પણ નહિ / None of these

Solution:

ગણ $A$ નું છેલ્લું પદ $= 2 \times 200 = 400$.
ગણ $B$ નું છેલ્લું પદ $= 3 \times 250 = 750$.

છેદગણ $A \cap B$ એ 2 અને 3 ના સામાન્ય ગુણિતો એટલે કે 6 ના ગુણિતોનો બનેલો હશે: $\{6, 12, 18, …\}$.

આ પદો બંને ગણમાં હોવા જોઈએ, એટલે કે 400 સુધીમાં લેવા પડે. 400 સુધીમાં 6 ના ગુણિતોની સંખ્યા $= \lfloor\frac{400}{6}\rfloor = 66$.
તેથી $n(A \cap B) = 66$.

હવે, $n(A \cup B) = n(A) + n(B) – n(A \cap B) = 200 + 250 – 66 = 384$.
માટે $k=384$, તેથી $\frac{k}{100}=3.84$.

જવાબ: (A) 3.84

A group of 40 students in an examination of 3 subjects Mathematics, Physics and Chemistry. It was found that all students passed on atleast one of the subjects, 20 students passed in Mathematics, 25 students passed in Physics, 16 students passed in Chemistry, atmost 11 students passed in both Mathematics and Physics, atmost 15 students passed in both Physics and Chemistry, atmost 15 students passed in both Mathematics and Chemistry. The maximum number of students passed in all the three subjects is ___

40 વિદ્યાર્થીઓનો એક સમૂહ 3 વિષયો ગણિતશાસ્ત્ર, ભૌતિકશાસ્ત્ર અને રસાયણશાસ્ત્ર ની પરીક્ષામાં ઉપસ્થિત થાય છે. એવું જોવામાં આવ્યું છે કે બધા જ વિદ્યાર્થીઓ ઓછામાં ઓછા એક વિષયમાં ઉતીર્ણ થાય છે, 20 વિદ્યાર્થીઓ ગણિતશાસ્ત્રમાં ઉતીર્ણ થયા છે, 25 વિદ્યાર્થીઓ ભૌતિકશાસ્ત્રમાં ઉતીર્ણ થયા છે, 16 વિદ્યાર્થીઓ રસાયણશાસ્ત્રમાં ઉતીર્ણ થયા છે, વધુમાં વધુ 11 વિદ્યાર્થીઓ ગણિતશાસ્ત્ર અને ભૌતિકશાસ્ત્રમાં બંનેમાં ઉતીર્ણ થયા છે. વધુમાં વધુ 15 વિદ્યાર્થીઓ ભૌતિકશાસ્ત્ર અને રસાયણ શાસ્ત્રમાં ઉતીર્ણ થયા, વધુમાં વધુ 15 વિદ્યાર્થીઓ ગણિતશાસ્ત્ર અને રસાયણશાસ્ત્રમાં ઉતીર્ણ થયા છે. ત્રણેય વિષયમાં ઉતીર્ણ થનાર વિદ્યાર્થીઓની મહત્તમ સંખ્યા ___ છે.

• (A) 8
• (B) 10
• (C) 12
• (D) 15

Solution:

સૂત્ર મુજબ: $n(M \cup P \cup C) = \sum n(M) – \sum n(M \cap P) + n(M \cap P \cap C)$.
$40 = 20 + 25 + 16 – \sum n(M \cap P) + n(M \cap P \cap C)$.
$\sum n(M \cap P) – n(M \cap P \cap C) = 21$.

ધારો કે ત્રણેયમાં પાસ થનાર $x$ છે. બે વિષય વાળા પ્રદેશો $a, b, c$ છે.
શરત: $(a+x) + (b+x) + (c+x) \le 11 + 15 + 15 = 41 \Rightarrow (a+b+c) + 3x \le 41$.

ઉપરના સમીકરણ પરથી: $(a+b+c) + 2x = 21$.
માટે, $(21 – 2x) + 3x \le 41 \Rightarrow x \le 20$.

વળી, પ્રદેશ ઋણ ન હોવાથી: $21 – 2x \ge 0 \Rightarrow x \le 10.5$. મહત્તમ પૂર્ણાંક $10$ મળે.

જવાબ: (B) 10

If $X=\{4^n-3n-1:n\in N\}$ and $Y=\{9(n-1):n\in N\}$, where $N$ is the set of natural numbers, then $X \cup Y$ is equal to

જો $X=\{4^n-3n-1:n\in N\}$ અને $Y=\{9(n-1):n\in N\}$, જ્યાં $N$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યાનો ગણ છે તો $X \cup Y =$

• (A) $X$
• (B) $Y$
• (C) $N$
• (D) $Y-X$

Solution:

ગણ $X$ માટે દ્વિપદી પ્રમેય વાપરીએ: $4^n = (1+3)^n = 1 + 3n + ^nC_2(3^2) + \dots$
$4^n – 3n – 1 = 9 \times (^nC_2 + \dots)$.

આનો અર્થ એ કે $X$ ના બધા ઘટકો 9 ના ગુણિતો છે (દા.ત. $0, 9, 54, \dots$).
ગણ $Y = \{0, 9, 18, 27, \dots\}$ એ 9 ના તમામ ગુણિતોનો ગણ છે.

સ્પષ્ટ છે કે $X \subset Y$ છે. માટે, તેમનો યોગગણ $X \cup Y = Y$ જ થાય.

જવાબ: (B) $Y$

In a survey, it was found that 21 persons liked product A, 26 liked product B and 29 liked product C. If 14 persons liked products A and B, 12 liked products C and A, 13 persons liked products B and C and 8 liked all the three products then which of the following is (are) true?

એક નિરીક્ષણ પરથી ખબર પડી કે 21 વ્યક્તિને વસ્તુ A ગમી, 26 ને વસ્તુ B અને 29 ને વસ્તુ C ગમી. જો 14 વ્યક્તિને વસ્તુ A અને B બંને, 12 વ્યક્તિને વસ્તુ C અને A, 13 વ્યક્તિને વસ્તુ B અને C અને 8 વ્યક્તિને બધી જ વસ્તુ ગમે છે તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?

• (A) The number of persons who liked the product C only = 12 / માત્ર C વસ્તુ ગમી હોય તેવા વ્યક્તિની સંખ્યા = 12
• (B) The number of persons who like the products A and B but not C = 6 / A અને B વસ્તુ ગમી હોય પણ C નહિ ગમી હોય તેવા વ્યક્તિની સંખ્યા = 6
• (C) The number of persons who liked the product C only = 6 / માત્ર C વસ્તુ ગમી હોય તેવા વ્યક્તિની સંખ્યા = 6
• (D) The number of persons who like the products A and B but not C = 12 / A અને B વસ્તુ ગમી હોય પણ C નહિ ગમી હોય તેવા વ્યક્તિની સંખ્યા = 12

Solution:

આપણે એવા વ્યક્તિઓની સંખ્યા શોધીએ જેને A અને B ગમી હોય પણ C નહિ.

સૂત્ર: $n(A \cap B \cap C’) = n(A \cap B) – n(A \cap B \cap C)$

કિંમતો મુકતા: $14 – 8 = 6$.
તેથી, A અને B વસ્તુ ગમી હોય પણ C નહિ ગમી હોય તેવા વ્યક્તિની સંખ્યા $6$ છે.

જવાબ: (B) A અને B વસ્તુ ગમી હોય પણ C નહિ ગમી હોય તેવા વ્યક્તિની સંખ્યા = 6

Consider the following statements:
1. If $A=\{(x,y)\in R\times R:x^3+y^3=1\}$ and $B=\{(x,y)\in R\times R:x-y=1\}$, then $A \cap B$ contains exactly one element.
2. If $A=\{(x,y)\in R\times R:x^3+y^3=1\}$ and $B=\{(x,y)\in R\times R:x+y=1\}$, then $A \cap B$ contains exactly two elements.
Which of the above statements is/are correct?

નીચે આપેલ વિધાન સ્વીકારો:
1. જો $A=\{(x,y)\in R\times R:x^3+y^3=1\}$ અને $B=\{(x,y)\in R\times R:x-y=1\}$, તો $A \cap B$ માત્ર એક ઘટક ધરાવે છે.
2. જો $A=\{(x,y)\in R\times R:x^3+y^3=1\}$ અને $B=\{(x,y)\in R\times R:x+y=1\}$, તો $A \cap B$ બે ઘટક ધરાવે છે.
ઉપરમાંથી કયું વિધાન સાચું છે?

• (A) 1 only / 1 માત્ર
• (B) 2 only / 2 માત્ર
• (C) Both 1 and 2 / 1 અને 2 બંને
• (D) Neither 1 and 2 / 1 અને 2 એકપણ નહિ

Solution:

વિધાન 1: $x – y = 1 \Rightarrow x = y + 1$ ને $x^3+y^3=1$ માં મુકતા:
$(y+1)^3 + y^3 = 1 \Rightarrow y(2y^2+3y+3) = 0$. વાસ્તવિક ઉકેલ માત્ર $y=0$ છે. માટે બિંદુ $(1,0)$ મળે છે. (વિધાન સાચું છે).

વિધાન 2: $x + y = 1 \Rightarrow y = 1 – x$ મુકતા:
$x^3 + (1-x)^3 = 1 \Rightarrow 3x(x-1) = 0 \Rightarrow x=0, 1$. આનાથી બે બિંદુઓ $(0,1)$ અને $(1,0)$ મળે છે. (વિધાન સાચું છે).

જવાબ: (C) Both 1 and 2 / 1 અને 2 બંને