FOM 1 Lecture 1

JEE MAIN MATHS – LECTURE 01: Identities & Number System

Topic 1: Number System & Prime Numbers

• Number System: It comprises various types of numbers including natural numbers ($\mathbb{N}$), integers ($\mathbb{Z}$), and rational numbers ($\mathbb{Q}$).
• Rational Numbers ($\mathbb{Q}$): Any number that can be expressed as the fraction $p/q$, where $p$ and $q$ are integers and $q \neq 0$.
• Prime Numbers: A natural number greater than 1 that has exactly two distinct positive divisors: 1 and the number itself. (e.g., 2, 3, 5, 7…). Note: 2 is the only even prime number.

• સંખ્યા પદ્ધતિ (Number System): તેમાં પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ ($\mathbb{N}$), પૂર્ણાંકો ($\mathbb{Z}$) અને સંમેય સંખ્યાઓ ($\mathbb{Q}$) નો સમાવેશ થાય છે.
• સંમેય સંખ્યાઓ (Rational Numbers): એવી સંખ્યા જેને $p/q$ સ્વરૂપે દર્શાવી શકાય, જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંકો છે અને $q \neq 0$.
• અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ (Prime Numbers): 1 કરતાં મોટી એવી પ્રાકૃતિક સંખ્યા જેના માત્ર બે જ ધન અવયવો હોય: 1 અને સંખ્યા પોતે. (દા.ત., 2, 3, 5, 7…). નોંધ: 2 એ એકમાત્ર બેકી (યુગ્મ) અવિભાજ્ય સંખ્યા છે.

Topic 2: Algebraic Identities & Manipulations

• Algebraic Identities: Standard equations that remain true for all values of their variables.
• Key JEE Expansions:
  
  $\bullet$ $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$
  
  $\bullet$ $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ OR $(a+b)^3 – 3ab(a+b)$
  
  $\bullet$ $a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$
• Sum of Squares Property: If $x^2 + y^2 + z^2 = 0$ for real numbers $x, y, z$, then strictly $x=0$, $y=0$, and $z=0$.

• બૈજિક નિત્યસમો: પ્રમાણિત સમીકરણો જે તેમના ચલોની તમામ કિંમતો માટે સમાન અને સાચા રહે છે.
• અગત્યના વિસ્તરણો:
  
  $\bullet$ $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$
  
  $\bullet$ $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ અથવા $(a+b)^3 – 3ab(a+b)$
  
  $\bullet$ $a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$
• વર્ગોના સરવાળાનો ગુણધર્મ: વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે, જો વર્ગોનો સરવાળો શૂન્ય થાય ($x^2 + y^2 + z^2 = 0$), તો દરેક પદ ફરજિયાતપણે શૂન્ય જ હોય ($x=0$, $y=0$, $z=0$).