Question ID: #1570
English: If the shortest distance between the lines $\frac{x-4}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{-3}$ and $\frac{x-\lambda}{2}=\frac{y+1}{4}=\frac{z-2}{-5}$ is $\frac{6}{\sqrt{5}}$, then the sum of all possible values of $\lambda$ is:
(A) $5$ (B) $8$ (C) $7$ (D) $10$
Hindi: यदि रेखाओं $\frac{x-4}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{-3}$ और $\frac{x-\lambda}{2}=\frac{y+1}{4}=\frac{z-2}{-5}$ के बीच की न्यूनतम दूरी $\frac{6}{\sqrt{5}}$ है, तो $\lambda$ के सभी संभावित मानों का योग है:
(A) $5$ (B) $8$ (C) $7$ (D) $10$
Gujarati: જો રેખાઓ $\frac{x-4}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{-3}$ અને $\frac{x-\lambda}{2}=\frac{y+1}{4}=\frac{z-2}{-5}$ વચ્ચેનું ન્યૂનતમ અંતર $\frac{6}{\sqrt{5}}$ હોય, તો $\lambda$ ની તમામ શક્ય કિંમતોનો સરવાળો છે:
(A) $5$ (B) $8$ (C) $7$ (D) $10$
Hint:
- English: Use the formula for the shortest distance between two skew lines: $d = \frac{|(\vec{a}_2 – \vec{a}_1) \cdot (\vec{b}_1 \times \vec{b}_2)|}{|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2|}$. Equate this to the given distance $\frac{6}{\sqrt{5}}$ and solve for $\lambda$.
- Hindi: दो विषमतलीय रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी के सूत्र का उपयोग करें: $d = \frac{|(\vec{a}_2 – \vec{a}_1) \cdot (\vec{b}_1 \times \vec{b}_2)|}{|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2|}$। इसे दी गई दूरी $\frac{6}{\sqrt{5}}$ के बराबर रखें और $\lambda$ के लिए हल करें।
- Gujarati: બે વિષમતલીય રેખાઓ વચ્ચેના ન્યૂનતમ અંતરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરો: $d = \frac{|(\vec{a}_2 – \vec{a}_1) \cdot (\vec{b}_1 \times \vec{b}_2)|}{|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2|}$. આને આપેલ અંતર $\frac{6}{\sqrt{5}}$ સાથે સરખાવો અને $\lambda$ માટે ઉકેલો.
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