Question ID: #1565
English: If $(a, b)$ be the orthocentre of the triangle whose vertices are $(1, 2)$, $(2, 3)$ and $(3, 1)$, and $I_{1}=\int_{a}^{b}x \sin(4x-x^{2})dx$, $I_{2}=\int_{a}^{b}\sin(4x-x^{2})dx$, then $36\frac{I_{1}}{I_{2}}$ is equal to:
(A) $72$ (B) $88$ (C) $80$ (D) $66$
Hindi: यदि $(a, b)$ उस त्रिभुज का लंबकेन्द्र है जिसके शीर्ष $(1, 2)$, $(2, 3)$ और $(3, 1)$ हैं, तथा $I_{1}=\int_{a}^{b}x \sin(4x-x^{2})dx$, $I_{2}=\int_{a}^{b}\sin(4x-x^{2})dx$ है, तो $36\frac{I_{1}}{I_{2}}$ बराबर है:
(A) $72$ (B) $88$ (C) $80$ (D) $66$
Gujarati: જો $(a, b)$ એ ત્રિકોણનું લંબકેન્દ્ર હોય જેના શિરોબિંદુઓ $(1, 2)$, $(2, 3)$ અને $(3, 1)$ છે, અને $I_{1}=\int_{a}^{b}x \sin(4x-x^{2})dx$, $I_{2}=\int_{a}^{b}\sin(4x-x^{2})dx$ છે, તો $36\frac{I_{1}}{I_{2}}$ બરાબર છે:
(A) $72$ (B) $88$ (C) $80$ (D) $66$
Hint:
- English: First deduce the sum $a+b$ from the properties of the given triangle coordinates, then apply the definite integral property $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a+b-x) dx$ to evaluate $I_1$ in terms of $I_2$.
- Hindi: सबसे पहले दिए गए त्रिभुज के निर्देशांकों के गुणों से योग $a+b$ ज्ञात करें, फिर $I_2$ के पदों में $I_1$ का मान निकालने के लिए निश्चित समाकलन के गुणधर्म $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a+b-x) dx$ का उपयोग करें।
- Gujarati: સૌપ્રથમ આપેલ ત્રિકોણના યામના ગુણધર્મો પરથી સરવાળો $a+b$ શોધો, પછી $I_2$ ના સ્વરૂપમાં $I_1$ નું મૂલ્ય શોધવા માટે નિયત સંકલનના ગુણધર્મ $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a+b-x) dx$ નો ઉપયોગ કરો.
Was this solution helpful?
YesNo