Question ID: #1564
English: Let $x=x(t)$ and $y=y(t)$ be solutions of the differential equations $\frac{dy}{dt}+by=0$ and $\frac{dx}{dt}+ax=0$ respectively, $a, b \in R$. Given that $x(0)=2$, $y(0)=1$ and $3y(1)=2x(1)$, the value of $t$, for which $x(t)=y(t)$, is:
(A) $\log_{\frac{2}{3}}2$ (B) $\log_{4}3$ (C) $\log_{3}4$ (D) $\log_{\frac{4}{3}}2$
Hindi: माना $x=x(t)$ तथा $y=y(t)$ क्रमशः अवकल समीकरणों $\frac{dy}{dt}+by=0$ तथा $\frac{dx}{dt}+ax=0$ के हल हैं, जहाँ $a, b \in R$ हैं। दिया गया है कि $x(0)=2$, $y(0)=1$ तथा $3y(1)=2x(1)$ है, तो $t$ का वह मान जिसके लिए $x(t)=y(t)$ है:
(A) $\log_{\frac{2}{3}}2$ (B) $\log_{4}3$ (C) $\log_{3}4$ (D) $\log_{\frac{4}{3}}2$
Gujarati: ધારો કે $x=x(t)$ અને $y=y(t)$ એ અનુક્રમે વિકલ સમીકરણો $\frac{dy}{dt}+by=0$ અને $\frac{dx}{dt}+ax=0$ ના ઉકેલો છે, જ્યાં $a, b \in R$. આપેલ છે કે $x(0)=2$, $y(0)=1$ અને $3y(1)=2x(1)$, તો $t$ ની જે કિંમત માટે $x(t)=y(t)$ થાય તે કિંમત છે:
(A) $\log_{\frac{2}{3}}2$ (B) $\log_{4}3$ (C) $\log_{3}4$ (D) $\log_{\frac{4}{3}}2$
Hint:
- English: Solve the linear differential equations using the variable separable method. Substitute the initial conditions to find the functions $x(t)$ and $y(t)$, then equate them to solve for $t$.
- Hindi: चर पृथक्करण विधि का उपयोग करके रैखिक अवकल समीकरणों को हल करें। फलन $x(t)$ और $y(t)$ ज्ञात करने के लिए प्रारंभिक शर्तों को प्रतिस्थापित करें, फिर $t$ के लिए हल करने हेतु उन्हें बराबर करें।
- Gujarati: ચલ વિયોજનીય પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સુરેખ વિકલ સમીકરણો ઉકેલો. વિધેયો $x(t)$ અને $y(t)$ શોધવા માટે પ્રારંભિક શરતો મૂકો, પછી $t$ શોધવા માટે તેમને સરખાવો.
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